频率与概率 · Law of Large Numbers

三色摸球游戏

袋中摸球，当试验次数足够多时，摸到目标色球的频率会稳定收敛于它的理论概率——这就是大数定律最朴素的样子。

游戏规则

目标每局从红、绿、蓝各 8 颗（共 24 颗）中不放回抽取 12 颗，观察颜色组合。
操作点击「抽一次」进行一局，或用「批量抽 $10 / 100$ 次」快速累积样本。
判定将 12 颗按红、绿、蓝数量从大到小排成三位数编号，对照奖惩表结算筹码（每局先扣 1 筹码）。
提示点「揭秘」查看筹码趋势；展开下方「原理揭秘」，了解各组合概率与收益的详细推导。

实验画面

💀 破产

你的筹码已耗尽

本轮筹码随抽取次数的变化

三色摸球游戏

红 $/$ 绿 $/$ 蓝各 8 颗 · 每局抽取 12 颗

游戏规则：箱子中放置红、绿、蓝三色小球各 8 颗，共 24 颗。每局抽取 12 颗，按颜色数量从大到小组合编号判定奖惩。例如：8 红 4 绿 0 蓝记为 840，奖励 100 筹码；每参与一局消耗 1 筹码。

箱内 24 颗每局重新装满 · 局内不放回已抽 $0 / 12$

本局抽出的小球

红 8绿 8蓝 8

历史记录（最近 10 组）奖惩 $/$ 净收益

本轮筹码趋势

各结果出现次数

统计本轮全部抽取结果，重置后清零；手机上可横向滑动查看。

当前筹码

1000

总游戏次数

参数说明

球堆构成红 $/$ 绿 $/$ 蓝各 8 颗，共 24 颗，单次理论概率均为 $1/3$
每局抽取不放回抽取 12 颗，决定本局颜色编号
起始筹码1000 筹码，每参与一局先扣除 1 筹码

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操作指南

点「抽一次 $/$ 批量抽 $10 / 100$ 次」累积样本。
观察球从箱内逐颗移入托盘；抽完后，对应奖惩行会高亮。
批量抽取使用快速模式；点「查看筹码趋势」查看历史变化。

E(每局净收益) = Σ P(组合) × 奖金 − 1 = −4.2525 − 1 = −5.2525 筹码 < 0

一、先分清“一局内”与“不同局之间”

箱中红、绿、蓝球各 8 颗，共 24 颗；一局内均匀随机、不放回地抽取 12 颗。设红、绿、蓝球的数量分别为 $R$ 、 $G$ 、 $B$ ，则 $R + G + B = 12$ ，且每个数量都是 0 到 8 之间的整数。下一局重新从完整的 24 颗球开始，因此理论模型假定不同局相互独立、规则相同。

“不放回”意味着同一局内各次抽球不独立。例如第一颗抽到红球后，第二颗为红球的概率从 $8/24$ 变成 $7/23$ ；若第一颗是绿球，第二颗为红球的概率则为 $8/23$ 。因此不能直接把 12 次抽球当作红、绿、蓝概率始终为 $1/3$ 的独立试验。

二、为什么分母是 C(24,12)

先给每颗球编号，即使同色球也视为不同个体。记 C(n,k) 为“从 $n$ 个不同对象中选出 $k$ 个，不计先后顺序”的选法数。先按顺序选有 $n × (n−1) × … × (n−k+1)$ 种；每组选中的对象被它们的 k! 种排列重复计算，所以需要除以 k!：

C(n,k) = n! / [k!(n−k)!]，其中 0! = 1

本实验只关心抽到了哪些球，不关心先后顺序，因此一共有 $C(24,12) =$ 2,704,156 个可能的 12 球子集。均匀不放回抽样下，每条有序抽取序列的概率都是 $1/(24 × 23 × … × 13)$ ，而每个子集恰好对应 12! 条序列，所以这些具体球的子集等可能。颜色数量组合并不等可能，因为它们包含的子集数不同。

三、固定颜色的概率：多元超几何分布

固定红球 $r$ 颗、绿球 $g$ 颗、蓝球 $b$ 颗后，从红球中选出所需个体有 C(8,r) 种方式，绿球有 C(8,g) 种，蓝球有 C(8,b) 种。每个红球选法可以搭配每个绿球、蓝球选法，按乘法计数原理相乘；这不表示抽球事件相互独立。

P(R=r, G=g, B=b) = C(8,r) C(8,g) C(8,b) / C(24,12)

这就是多元超几何分布，适用于 $r+g+b=12$ 且 $0≤r,g,b≤8$ 的整数情形，其他情形的概率为 0。例如，恰好 5 红、4 绿、3 蓝的选法数为 $56 × 70 × 56 = 219,520$ ，概率为 $219,520 / 2,704,156 ≈$ 8.118%。这里还没有把其他颜色分配合并进来。

四、为什么编号 543 要乘 6，552 只乘 3

游戏把三色数量从大到小排序，得到编号 abc，其中 $a≥b≥c$ 。编号 543 表示某种颜色 5 颗、另一种 4 颗、剩下一种 3 颗，并不指定哪种颜色对应哪个数量。固定红、绿、蓝顺序后，它包含 $(5,4,3)$ 、 $(5,3,4)$ 、 $(4,5,3)$ 、 $(4,3,5)$ 、 $(3,5,4)$ 、 $(3,4,5)$ 六个互不重叠的事件；三色库存相同，所以六个事件概率也相同，相加就是乘 6。

编号 552 只包含 $(5,5,2)$ 、 $(5,2,5)$ 、 $(2,5,5)$ 三种分配：交换两个“5”不会产生新事件。444 则只有 $(4,4,4)$ 一种。一般地，若相同数字的重复次数是 $m₁$ 、 $m₂$ 、…，不同颜色分配数为 $M=3!/(m₁!m₂!…)$ ：三个数不同取 6，两个相同取 3，全部相同取 1。

P(编号 abc) = M × C(8,a) C(8,b) C(8,c) / 2,704,156

840： $6 × 1 × 70 × 1 / 2,704,156 = 420 / 2,704,156 ≈ 0.015532%$ 。
543： $6 × 56 × 70 × 56 / 2,704,156 = 1,317,120 / 2,704,156 ≈ 48.707249%$ 。
552： $3 × 56 × 56 × 28 / 2,704,156 = 263,424 / 2,704,156 ≈ 9.741450%$ 。
444： $70³ / 2,704,156 = 343,000 / 2,704,156 ≈ 12.684179%$ 。

为什么恰好有 13 种编号？最大数量 $a$ 至少为 4、至多为 8。逐一令 $a=8$ 、7、6、5、4，并要求 $b+c=12−a$ 、 $a≥b≥c≥0$ ，就分别得到：840、831、822；750、741、732；660、651、642、633；552、543；444。这 13 种是排序后的类型；保留红绿蓝身份时共有 61 个数量三元组，不能混为一谈。

全部 13 种编号：概率与奖惩（右列未扣入场筹码）

543 48.707% -10

444 12.684% +1

642 12.177% +1

552 9.741% +1

633 9.741% +1

651 2.783% +1

732 2.783% +2

741 0.994% +2

750 0.099% +20

831 0.099% +10

660 0.087% +20

822 0.087% +10

840 0.016% +100

13 类的抽法数相加为 2,704,156，故精确概率之和为 100%（显示值四舍五入后可能略有偏差）。543 独占近一半；高额奖励组合 840、750、660 合计约 0.2019%。条形按概率绘制，极小概率保留最小可见宽度，请以数值为准。

大奖金额高，出现概率却极小。840 奖励 100 枚（净赚 99 枚），但概率只有约 0.015532%。如果固定进行 2000 局独立抽取，出现次数的期望是 $2000 × 420 / 2,704,156 ≈$ 0.31 次；进行 20,000 局，才平均约出现 3.1 次。这是大量重复实验的平均值，不保证某一轮出现，也不是每隔固定局数必出大奖。

五、奖励不等于净收益

记奖惩表中的数值为 $Y$ ，单局筹码变化为 $X$ 。因为每局先扣 1 枚，所以 $X=Y−1$ 。抽到 840 时净赚 99 枚；抽到奖励 +1 的组合时净收益为 0；抽到 543 时先付 1 枚再扣 10 枚，实际净亏 11 枚。

把 13 类按净收益合并：净亏的概率为 $P(X=−11)≈48.7072%$ ；持平的概率为 $P(X=0)≈47.1272%$ ；净赚的概率为 P(X $>$ $0)≈4.1656%$ 。因此“奖惩表里多数号码是正数”不代表容易盈利：号码不等可能，而且 +1 仅够抵消入场成本。

六、一步步算出每局期望

期望是按概率加权的平均值，不是把 13 个奖惩数字简单平均。设 $p_{abc}$ 为编号 abc 的概率，按相同奖惩合并后：

E(Y) = 100p_{840} + 20(p_{750}+p_{660})

所有概率的分母都是 2,704,156。各奖励组对应的抽法数依次为 420、5,040、5,040、102,144、1,274,392、1,317,120，因此可以直接用整数计算，避免提前四舍五入：

E(Y) = [100×420 + 20×5,040 + 10×5,040

μ = E(X) = E(Y)−1 = −14,203,476 / 2,704,156 ≈ −5.252461766

也可直接从净收益看：543 对期望的贡献为 $−11×48.707249%≈−5.3578$ 枚；所有净赚组合合计贡献约 +0.1053 枚，持平组合贡献 0，相加仍为 $−5.2525$ 枚。大奖的数值很大，但概率太小，无法抵消常见的损失。

七、负期望如何变成长期亏损

先考虑筹码不足也能继续记账的数学模型。第 $i$ 局净收益记为 $X_{i}$ ， $n$ 局后的筹码为 $S_{n}=1000+X₁+…+X_{n}$ 。期望的线性性质给出 $E(S_{n})=1000+nμ$ 。这是一组重复实验的平均趋势，不是每条实际曲线都会沿着直线下降。

(X₁+…+X_{n})/n → μ ≈ −5.2525（几乎必然）

各局独立同分布，且收益有界，满足强大数定律的条件。上式表示：在可以无限继续的模型中，平均净收益以概率 1 趋向负数。于是 $S_{n}/n=1000/n+(X₁+…+X_{n})/n$ 也趋向 $μ<0$ ，筹码最终趋向负无穷，所以必然曾经到达 0 或以下。

实际游戏在首次 $S_{n}≤0$ 时停止。它与上述假想序列在停止前完全一致，因此，在规则不变、不补充筹码并持续玩到破产的条件下，最终破产概率为 1。这不表示每个人都会在某个固定局数前破产，也不否认短期盈利后主动退出的可能。

用 $1000/5.2525≈$ 190.4 局只能估计资金耗尽的时间尺度，不能直接当作精确的平均破产时间：最后一次 $−11$ 可能把余额从正数带到负数，破产时刻也因路径而异。页面的实际曲线在破产处停止，因此不能把无限继续模型的期望直线直接套到停止后的余额上。

八、怎样理解实验中的波动

对某个编号，令 $I_{i}$ 在第 $i$ 局出现该编号时为 1，否则为 0。其频率就是 $(I₁+…+I_{n})/n$ ，由大数定律趋向理论概率 $p$ 。收敛不表示误差每局都缩小；若事先固定局数 $n$ 并完成全部独立抽样，频率的标准差为 $√[p(1−p)/n]$ ，可用它理解有限样本的随机起伏。

例如 840 的概率 $p=420/2,704,156$ 。连续 $n$ 局至少出现一次的概率为 $1−(1−p)^{n}$ ；在允许一直抽取的模型里，等到首次出现的平均局数为 $1/p≈6,438.5$ ，并不是“每隔 6,438 局必出一次”。连续没中也不会改变下一局的概率，因为下一局会重新装满箱子并独立抽样。