概率统计 · 互动实验

高尔顿板

从对称高尔顿板到逐层不对称概率：观察弹珠自由下落、碰钉反弹与落槽，比较实际频率和理论分布。

游戏规则

设置每层可独立设置左移概率，右移概率自动互补。
观察单颗查看碰撞，批量比较分布，支持暂停和继续。
比较对称、整体偏置、逐层异质三种情形均可探索。
统计只统计已落槽弹珠，改变参数后重新实验。

实验画面

准备就绪

落点分布 · 共同概率纵轴

浅蓝柱：实际频率　钢蓝虚线：理论概率；落槽区深蓝实线：实际频率平滑曲线

实验结果怎么看

这张表与上方实验实时联动，用同一行直接比较理论预测与已经落槽的实际结果。

实时对照

槽位 $k$	理论概率	期望颗数	实际颗数	实际频率	绝对误差

期望颗数 $＝$ 已完成弹珠数 $×$ 理论概率；绝对误差 $＝|$ 实际频率 $−$ 理论概率|，单位为百分点。尚无完成样本时显示“—”。

先抓住一句话：落在哪个槽，只取决于这颗弹珠一共向右走了几次。每碰一层钉子，就完成一次“向左或向右”的随机选择；把每层的选择累加起来，就得到最终槽位。重复投放许多弹珠后，各槽的频率会逐渐显出这组选择背后的概率分布。

逐层选择→累计向右次数→最终槽位→落点分布

1．从碰钉到槽位：先把物理过程翻译成随机变量

设钉板有 $n$ 层。第 $i$ 层向左的概率记为 $pᵢ$ ，向右的概率就是 $1−pᵢ$ 。把“向右”记为 $Bᵢ=1$ ，把“向左”记为 $Bᵢ=0$ ，那么 $Bᵢ$ 是一次伯努利试验。

每向右一次，最终位置就比“全向左”的路径多向右一格。因此，从左到右把槽位编号为 0、1、…、 $n$ 后，最终槽位

X=B₁+B₂+⋯+Bₙ＝整条路径中“向右”的总次数。

关键不是路径长什么样，而是向右了几次。例如三层时，“右→左→右”和“左→右→右”虽然路径不同，但都向右两次，所以都落入 2 号槽。

本模型假设：同一颗弹珠在不同层的选择相互独立；不同弹珠之间也相互独立；一轮实验中各层概率保持不变。这些是假设，不是所有真实钉板都会自动满足的物理定律。

2．为什么对称板中间高、两边低：多条路径会汇入同一槽

$n$ 层一共有 $2ⁿ$ 条左右路径，却只有 n+1 个槽。最左槽要求“每层都向左”，最右槽要求“每层都向右”，各自只有一条路径；中间槽往往可由许多条路径到达。在对称板上，每条路径等可能，所以中间槽累积的概率更大。

左→右向右 1 次

右→左向右 1 次

共同落入 1 号槽两条互斥路径的概率相加

注意：当各层左右概率不同时，各条路径未必等可能，路径多的槽也未必概率最大。我们可以把到达同一槽位的路径概率逐条相加；程序采用下一节的逐层递推，结果相同但计算更高效。

3．对称、不对称，以及它们各自对应的分布

各层设置	最终槽位 $X$	分布形状
所有 $pᵢ=1/2$	二项分布 $Binomial(n,1/2)$	关于 $n/2$ 对称
所有 $pᵢ=p$	二项分布 $Binomial(n,1−p)$	可整体偏向一侧
各层 $pᵢ$ 不完全相同	泊松二项分布	形状由每一层共同决定

这里 $pᵢ$ 表示左移概率，而 $X$ 统计右移次数，所以二项分布中的“成功概率”是 $1−p$ 。当所有层的 $pᵢ$ 都等于 $p$ 时：

P(X=k)=C(n,k)(1−p)ᵏpⁿ⁻ᵏ。

如果各层概率不同，不能把它们先求平均再代入二项分布。这样做虽然能保留均值，却通常会改变方差和各槽概率。名称相近也要注意：泊松二项分布不等于泊松分布。

4．不用枚举所有路径：逐层更新槽位概率

令 $Dᵢ,ₖ$ 表示“经过前 $i$ 层后，恰好向右 $k$ 次”的概率。开始时还没经过任何层，所以 $D₀,₀=1$ 。

经过第 $i$ 层后要处在 $k$ ：

可以先有 $k$ 次右移，这一层再向左，概率贡献为 $pᵢDᵢ₋₁,ₖ$ ；
也可以先有 $k−1$ 次右移，这一层再向右，概率贡献为 $(1−pᵢ)Dᵢ₋₁,ₖ₋₁$ 。

两种情况互斥，因此相加：

Dᵢ,ₖ=pᵢDᵢ₋₁,ₖ+(1−pᵢ)Dᵢ₋₁,ₖ₋₁

两层例子：左移概率依次为 70% 和 40%。于是 0 号槽为 $0.7×0.4=0.28$ ；1 号槽包含“左→右”和“右→左”两条路径，概率为 $0.7×0.6+0.3×0.4=0.54$ ；2 号槽为 $0.3×0.6=0.18$ 。三者相加正好为 1。

5．均值定位置，方差定分散程度

因为 $X$ 是各层 $0/1$ 选择之和，所以

E[X]=Σ(1−pᵢ)

均值告诉我们落点中心大约在哪里：向右概率整体增大，平均槽位就右移。方差告诉我们分布有多分散：某层的 $pᵢ$ 接近 $1/2$ 时最不确定，对方差贡献较大；接近 0 或 1 时几乎确定，对方差贡献较小。

上面的数值会随层数和各层概率实时更新。改变这些参数会清空本轮样本，避免把来自不同理论分布的数据混在一起。

6．实验结果怎么看：频率会靠近概率，但不会整齐地靠近

只统计已经完成下落的 $m$ 颗弹珠。第 $k$ 槽的实际颗数记为 $Nₖ$ ，则实际频率 $fₖ=Nₖ/m$ ；理论上预计约有 $mP(X=k)$ 颗落入该槽。

槽位 $k$	理论概率	期望颗数	实际颗数	实际频率	绝对误差

绝对误差是 $|fₖ−P(X=k)|$ ，表中以百分点表示：例如 30% 与 28% 相差 2 个百分点。槽位计数满足 $ΣNₖ=m$ ；图中的柱和理论虚线共用同一概率纵轴。平滑曲线只是在视觉上连接离散频率，不是连续概率密度。

增加弹珠数 $m$ ：参数不变时，大数定律说明频率总体会更接近理论概率，但不保证每多投一颗，误差都立刻变小。单槽的典型抽样波动约按 $1/√m$ 缩小。

增加层数 $n$ ：改变的是一颗弹珠可能经历的选择次数，也就是改变理论分布本身。只有总方差足够大、没有少数层主导全部随机性时，落点分布才可能适合正态近似；本页的理论线始终来自上面的精确递推。

因此，“投得多”只会让频率更稳定，并不会把任意偏置分布变成对称钟形。若每层选择都完全确定（ $pᵢ$ 只能取 0 或 1），所有弹珠会落入同一槽，方差为 0，更谈不上正态近似。

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