1统一规则：先转弯，再前进

三种模式都读取数字 。从原点出发，初始朝向向右；在当前朝向上转过 度，再前进固定步长 。正角顺时针，负角逆时针；下一步保留本步朝向。

例如数字 0 表示逆时针转 ，7 表示顺时针转 。连续的 7 会不断改变朝向，20 步形成星形。无理数读取内置数据（含个位），有理数读取绝对值的小数部分（不含整数与符号，有限小数末尾补零），随机模式以伪随机数模拟独立均匀数字。

2随机对照为什么仍满足平方根定律

假设数字相互独立、每个数字的概率均为 。令 表示此前全部数字信息。给定此前朝向，下一步仍有十个等角、对称的可选方向，因而：

当 时，第 步已包含在第 步的历史中，所以利用条件期望：

累计朝向不妨碍交叉项为零。这里的平方根定律是总体尺度，不意味着每条路径的距离等于理论半径，也不保证确定性数字流遵守此定律。

3总体量、样本量与参考圆

显示量	页面计算	严格含义
平均距离		个端点距离的样本平均
样本 MSD		对 的估计
	样本 MSD 的平方根	样本均方根尺度
理论值		仅适用于理想模型的总体 RMS
实测理论		二阶尺度的诊断比值，不是随机性的证明

由均方—算术平均不等式，。虚线圆只是总体 RMS 的参考尺度，不是粒子应当聚集的边界。

固定 时，增加 并不保证“实测理论”收敛到 1。随机路径的归一化距离仍有非退化波动；增加相互独立的粒子数或重复实验，才会使样本 MSD 更稳定。由于开平方是非线性变换，有限 下 也并非总体 RMS 的无偏估计。

4数字偏好与相关性怎样改变扩散

独立数字也可能偏爱某些转角，此时各步朝向随历史改变，不能使用“固定平均步向量”的漂移公式。令转角 （弧度）；若数字独立同分布，概率为 ，定义：

它来自相隔 步的方向相关性。均匀数字对应 ，恢复 ；不均匀数字可能产生回绕、方向持续性或其他扩散尺度，而不必沿固定方向漂移。若数字本身相关，就不能把相关项直接写成 ，应回到一般交叉项展开。

5有理数为何能画出闭合花纹

有理数的小数最终循环。设循环节长 ，总转角为 （弧度），首个周期的复数净位移为 。后续周期会旋转，经过 个周期的位移是：

每步转角都是 的整数倍。若周期净转角不是整圈，总能在至多 20 个周期后恢复朝向，上式为零，路径闭合；若净转角为整圈，只有 才闭合，否则漂移。有限小数的零尾部形成正方形，有非循环前缀时保留连接线，闭合回到周期起点。

、、 的预设分别在 20、90、59,940 步闭合并停止。有理数模式保留完整轨迹；由于这些是确定性周期路径，不显示随机模型的理论圆与比值。自定义分数分析前 10,000 位；未找到循环节时不作闭合保证，持续绘图上限为 200,000 步。

6三种序列与多个粒子怎样比较

纯随机模式把不同粒子当作独立重复实验。无理数模式的粒子依次消费全局数字流的不同片段；粒子数与每帧步数会改变片段分配。有理数模式的粒子读取相同数字流，初始朝向均匀分布，因此是同一图案的旋转副本，不能作为独立样本。

无理数、给定分数的数字都是确定的。无理性只意味着不终止且不最终循环，不推出等频、独立或正规。用相同转角规则作比较，可以探索序列结构；有限图形或 MSD 接近随机对照不能证明随机性。

7怎样使用这项实验

1. 比较基本形状先设为单粒子，固定步长与观察步数。无理数模式还应固定速度，确保取数分配一致。
2. 研究随机统计时增加独立随机粒子；比值在 1 附近波动，不要求随步数趋近 1。有理数旋转副本只用于展示。
3. 有理数视图按全部轨迹的实际边界自动缩放；屏幕上的大小不等于原始位移大小，应结合统计数值比较。
4. 改变步长或粒子数会重置。拖尾、缩放、视角不参与位移计算；有理数模式保留全部已绘轨迹。
5. 内置无理数每组含 1,000,000 位（含个位），耗尽后循环；重复读取不再提供新的数字证据。

8越走越远，为什么还会回来？

二维邻域常返：在数字独立、0–9 等概率、步长固定且无限运行的理想随机模型下，对任意固定半径 ，轨迹以概率 1 无穷多次进入原点附近。

为什么当前转向规则适用？以 为单位记朝向，它的奇偶性每步交替；给定任意历史，下一朝向均匀取遍对应奇偶性的十个方向，其分布不依赖具体历史。因此步向量相互独立，奇数步与偶数步的分布交替。把相邻两步合为一组，得到独立同分布、均值为零、有限且非退化协方差的二维增量，可以应用二维零均值有限方差随机游走的邻域常返定理。偶数时刻已无穷多次接近原点，故全部时刻也如此。

扩散与常返不矛盾：平方根定律描述固定时刻许多路径的整体尺度，常返描述一条无限路径的长期访问。它不表示路径有界，也不保证在指定步数内返回。仅有 MSD 线性增长不能推出常返。

页面如何计数：仅随机模式可开启观察，固定跟踪第 1 号粒子。金色圆盘半径为 ；每步端点距离小于此半径算在内，等于或大于算在外（连线穿过圆盘而端点未进入，不计）。只在从外到内时增加返回次数；从起点出发不计一次返回。首次返回用时为首次进入步数减去首次离开步数；在外时显示当前步数减去本次离开步数。

开关只改变显示，统计自本次重置起持续记录；切换模式、改变粒子数或步长、点击重置都会清零。暂停不增加步数，缩放和平移不改变判定。多个粒子的均值不能代替第 1 号粒子的返回记录。

结论边界：这是回到任意小邻域，不是直接套用方格游走“精确回到原点”的结论。有理数闭合是确定性周期几何，无理性不保证常返。网页采用伪随机数与浮点坐标，有限模拟只能演示，不能证明无限时间的定理。

定理依据：N. H. Bingham，Random Walk and Fluctuation Theory，Part I §6（Chung–Fuchs 定理）；上述两步分组是针对本页面规则的推导。