严谨表述（辛钦弱大数定律）

设 \{X_n\} 为独立同分布的随机变量序列，且数学期望 E[X_1]=\mu 存在（有限）。记前 n 项算术平均 \bar X_n=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i，则对任意 \varepsilon>0，都有

即 \bar X_n 依概率收敛于 \mu，记作 \bar X_n \xrightarrow{P} \mu。

伯努利大数定律（特例）

在 n 次独立重复伯努利试验中，事件 A 发生的频率 f_n 与其概率 p=P(A) 满足：对任意 \varepsilon>0，\lim_{n\to\infty}P(|f_n-p|>\varepsilon)=0。这正是"频率稳定于概率"的严格数学表达。

应用场景

• 频率估计概率：抛硬币、掷骰子、摸球等实验中用观测频率估计理论概率；
• 蒙特卡洛数值积分收敛性的理论保证；
• 保险精算中的"大数法则"——大量独立风险聚合后总损失趋于可预测；
• 民意调查与抽样调查可靠性的基础。

相关游戏

严谨表述（Lindeberg–Lévy 中心极限定理）

设 \{X_n\} 独立同分布，均值 \mu、方差 \sigma^2>0 均有限，则标准化和

依分布收敛于标准正态分布，即对任意实数 z，

等价地，样本均值 \bar X_n 近似服从正态分布 N(\mu,\sigma^2/n)。

应用场景

• 高尔顿板：大量小球独立下落叠加，落点分布逼近钟形曲线；
• 测量误差通常近似正态，便于合成不确定度；
• 统计推断（置信区间、假设检验）的理论基石；
• 随机游走的位移与样本均值呈正态分布。

相关游戏

严谨表述

设 \{B_1,\dots,B_n\} 是样本空间的一个划分（两两互斥且 \bigcup_i B_i=\Omega，且 P(B_i)>0），A 为任一事件且 P(A)>0，则

当 n=2 时，

其中 P(B_i) 为先验概率，P(A\mid B_i) 为似然，P(B_i\mid A) 为后验概率。

应用场景

• 医学诊断：结合患病率与检测准确率，求检后真实患病概率；
• 垃圾邮件过滤与拼写纠错；
• 毒骰子下注：根据已出现结果反推骰子类型（逆概率决策）；
• 摸球实验中"已知抽取结果、推断袋内构成"。

相关游戏

严谨表述

蒙特卡洛方法是一类通过随机采样对确定性或随机性问题进行数值求解的算法。设随机变量 X 服从已知分布（密度 p(x)），目标量 \theta=E[f(X)]=\int f(x)\,p(x)\,dx。抽取独立同分布样本 X_1,\dots,X_N，以样本均值

作为估计。由大数定律 \hat\theta_N\xrightarrow{P}\theta；由中心极限定理 \sqrt N(\hat\theta_N-\theta) 近似服从 N(0,\sigma_f^2)，其中 \sigma_f^2=\mathrm{Var}(f(X))，故估计的标准误差约为 \sigma_f/\sqrt N——误差量级为 O(1/\sqrt N)，且与问题维数无关，这是蒙特卡洛在高维积分中相对网格法的根本优势。

经典特例：布丰投针估算 π

针长 l、平行线间距 d（l\le d），单次投针与线相交概率 p=2l/(\pi d)。投 N 次得相交次数 N_{in}，则

应用场景

• 高维数值积分、金融衍生品定价（期权蒙特卡洛）；
• 统计物理与粒子输运模拟；
• 蒲丰投针与随机投米估算圆周率 π；
• 贝叶斯后验采样（MCMC）与随机优化。

相关游戏

泊松分布

若离散随机变量 X 取值于 \{0,1,2,\dots\} 且

则称 X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)，其数学期望与方差均为 E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda。

泊松定理（泊松极限定理）

设 X_n\sim B(n,p_n)（二项分布），且当 n\to\infty 时 n p_n\to\lambda>0，则对任意固定的 k，

即当试验次数 n 很大、单次成功概率 p 很小、而 np 适中时，二项分布可用泊松分布近似。

应用场景

• 单位时间内稀有事件计数：来电、设备故障、放射性衰变；
• 随机投米：每格落入米粒数近似服从泊松分布；
• 排队论中的顾客到达过程（泊松到达）；
• 质量控制中单位产品的缺陷数建模。

相关游戏

严谨表述

设 \{X_n,n\ge 0\} 为取值于可数状态空间 S 的随机过程。若对任意 n\ge 0 及任意状态 i_0,\dots,i_{n+1} 满足

则称该过程具马尔可夫性（无后效性），构成马尔可夫链。若一步转移概率 p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i) 与 n 无关，称为时齐马尔可夫链；其一步转移矩阵 P=(p_{ij}) 决定演化，n 步转移矩阵为 P^n。

应用场景

• 随机游走：粒子每步等概率向左或向右移动；
• 连续正面：掷币直到连续两次正面，状态=已连续正面数；
• 搜索引擎排序（PageRank）、排队网络；
• 隐马尔可夫模型用于语音识别与基因序列分析。

相关游戏