概率统计 · 互动实验
随机投米 · 蒙特卡洛估算 π
向正方形内随机撒下大量「米粒」，统计落入内切圆的比例，即可用蒙特卡洛方法估算圆周率 π——让抽象的极限思想变得可见、可玩。
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游戏规则
- 目标用撒点法估算圆周率 π，体会蒙特卡洛随机模拟的思想。
- 操作点击按钮向正方形内随机投米，最多累计 10 万粒。
- 判定落入内切圆的米粒数 / 总粒数 ≈ π/4，故 π ≈ 4 × 该比例。
- 提示投得越多，估算值越接近真实 π（大数定律）。
圆内 (0%)
圆外 (0%)
收敛趋势
π ≈ 4 ×（圆内 / 总点数）
当前比例：0.00000000
💡 蒙特卡洛收敛 O(1/√n)，十万次理论误差 ≈ ±0.016
投掷控制
进度0 / 100,000
π 估算结果
估算的 π 值
0.00000000
π = 3.14159265358979
绝对误差
-
相对误差
-
理论误差
-
详细统计
圆内米粒
0
圆外米粒
0
总米粒数
0
圆内比例
0.0000
⚙
参数说明
- 网格与内切圆正方形内随机撒点，圆内点占比趋近 π/4
- 投掷批量×1 / ×10 / ×100 / ×1K 即时累加
- 上限 100,000超过则停止，保证渲染流畅
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操作指南
- 点「×N」立即投掷 N 粒米并刷新统计与趋势。
- 点「▶ 动画投掷」以动画连续投放 1000 粒。
- 点「↺ 清空重置」重新开始实验。
π ≈ 4 · N(圆内) / N(总)
这是一个经典的蒙特卡洛（Monte Carlo）方法。在边长为 2r 的正方形内画一个半径为 r 的内切圆，圆面积与正方形面积之比恰好为 πr² / (2r)² = π/4。当我们向正方形内均匀随机投点时，一个点落入圆内的概率就是 π/4。
因此，只要投下足够多的点，用「圆内点数 ÷ 总点数」就能逼近 π/4，再乘以 4 即得 π 的估计值。这是大数定律的直接体现：试验次数越多，频率越稳定地趋近于真实概率，估算误差大致以 O(1/√n) 的速度收敛。十万次投掷的理论误差约为 ±0.016。
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