几何概率 · Monte Carlo

随机投米

向正方形内随机撒下大量米粒，统计落入内切圆的比例，用蒙特卡洛方法估算圆周率 $π$ 。

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游戏规则

目标向正方形内撒米，用落入内切圆的比例估算 $π$ 。
操作点击批量按钮撒米，大量投掷时分波揭示。
判定米粒落在圆内记 1，落在圆外记 0，恰好落在圆上则重投。
原理 $π ≈ 4 × K / N$ ，其中 $K$ 为圆内米粒数， $N$ 为总数。

实验画面

🍚 随机投米 · 蒙特卡洛估算 $π$

蓝色米粒落在内切圆内，红色米粒落在圆外。

📐 判定方式： $0/1$ 判定
每粒米的位置由两个独立均匀随机数决定。若它落在内切圆内记 1，落在圆外记 0；恰好落在圆周上的概率为 0，但仍加上重投一次的规则，保证判定完备。

—

估算的 $π$ 值

$π =$ 3.14159265358979

总米粒数

0

圆内米粒

0

绝对误差

—

相对误差

—

正在撒米…

$π$ 估计值收敛曲线（近似 95% 理论误差带从 $N≥30$ 开始显示）

⚙

参数说明

判定 $0/1$ 判定，圆周上重投
圆内概率 $π/4 ≈ 0.785$
估算式 $π ≈ 4 × K / N$
标准误差约 $1.642/√N$

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操作指南

点击批量按钮撒米，或投 1 粒试试。
观察估计值如何波动，以及其长期趋近 3.14159 的趋势。
大批量投米会分波揭示，并使用页面内置撒米音效。

π 的估计量等于 4K 除以 N

一、从面积比得到一次命中概率

在边长为 2r 的正方形内画半径为 $r$ 的内切圆。均匀投点时，落入某个区域的概率等于该区域占总区域的面积比，所以

圆内概率等于圆面积除以正方形面积，等于 π/4

半径 $r$ 在分子和分母中约去，因此结果与画布的实际尺寸无关。

二、把投米写成 $0/1$ 随机变量

第 $i$ 粒米的坐标由 $u₁,u₂∈[0,1)$ 经 $x=2u₁−1$ 、 $y=2u₂−1$ 映射到 $[−1,1]²$ 。定义

圆内记为 1，圆外记为 0

于是 $Xᵢ$ 是参数 $p=π/4$ 的伯努利随机变量：

伯努利变量取 1 和取 0 的概率

设 $K$ 是 $N$ 粒米中落入圆内的粒数，则

K 是指示变量之和，服从二项分布

在理想连续模型中， $P(x²+y²=1)=0$ ；因此圆周上重投只是把程序的分类规则写完整，不改变理论概率。

三、为什么估计量是 $4K/N$

由 $E(Xᵢ)=p$ 及期望的线性性，

K 的期望等于 Nπ/4

将 $K/N$ 看作 $p=π/4$ 的估计，再乘 4，得到

π 估计量的期望等于 π

所以该估计量是 $π$ 的无偏估计：长期重复实验时，估计值的平均等于真值。无偏不代表单次实验没有误差。

四、方差与标准误差的逐步计算

伯努利变量满足 $Var(Xᵢ)=p(1−p)$ 。在各次投米独立的模型下，方差可相加：

K 的方差等于 Np(1-p)

再使用 $Var(aY)=a²Var(Y)$ ：

π 估计量方差的推导

代入 $p=π/4$ ：

π 估计量的方差常数

π 估计量的标准误差

这就是 $1/√N$ 速率的来源。样本量增加 100 倍，标准误差才缩小 10 倍。

五、给定精度时需要投多少粒

若把「精度 $ε$ 」定义为标准误差不超过 $ε$ ，则

由精度要求推导样本量

取 $ε=0.001$ ，得 $N≥2,696,767$ ，即约 270 万粒。

若要求近似 95% 的正态误差范围为 $±ε$ ，使用标准正态分布的 97.5% 分位数 1.959964，则需要“ $1.959964 ×$ 标准误差 $≤ ε$ ”：

95% 误差范围所需样本量

取 $ε=0.001$ ，得 $N≥10,359,517$ ，向上取整约为 1040 万粒。实验中未知 $p$ 时，可用样本比例 $K/N$ 估计标准误差：

用样本比例估计标准误差

六、收敛曲线应该怎样理解

由大数定律， $K/N$ 收敛到 $p=π/4$ ，因而估计量 $4K/N$ 收敛到 $π$ 。但这是概率意义下的长期收敛，不是单调靠近：新增样本后，曲线可能暂时远离 $π$ 。对任意有限 $N$ ， $4K/N$ 是有理数，而 $π$ 是无理数，所以两者不会精确相等。

页面使用 Math.random() 生成伪随机数，在模型中将它们视为近似独立、近似均匀的样本；它们不是物理随机源，也不用于密码学目的。