硬币互动实验

毒硬币 · 下一枚的选择

正面中毒，反面安全。一次押定立即结算，或逐枚揭晓、决定何时领取。先体验两种玩法，再到原理揭秘中探索背后的规律。

ONE COIN · ONE RESULT

押一面，立即见分晓

每局投掷一枚硬币：正面中毒，反面安全。选择押注方向与金额，投掷后立即结算。押中返还 2 倍（含本金），押错损失下注金额。初始筹码 100。

单枚押注

当前余额100

已完成0 局

获胜次数0

累计净收益0

等待投掷?硬币

正面 ☠️ 中毒 · 反面 😇 安全

先选择押中毒或押安全；当前下注 10。

批量投掷

批量投掷使用当前押注方向和固定金额，余额不足时停止。

本轮本金变化

当前本金 100

按投掷顺序记录每局结算后的余额，批量投掷也逐局记录；虚线为初始本金 100。

第 0 局 · 初始本金 100

下一枚，还要继续吗？

每局投入 10 筹码，逐枚揭晓三枚硬币。正面为中毒，立即结束、返还 0；反面为安全，可以领取奖金或继续。初始本金 100。

第 1 枚安全15领取净赚 +5

→

第 2 枚安全25领取净赚 +15

→

第 3 枚安全50自动领取 · 净赚 +40

奖金均包含本金。开始时扣除 10，领取时加回奖金；一局未结束时不能切换模式或重置。

逐枚揭晓

可用余额100

已完成0 局

累计净收益0

本局可领取—

从第一枚开始，看看你会在哪一步停下。

本轮本金变化

只记录每局结算后余额

虚线为初始本金 100；曲线节点可查看局数与余额。若余额不足 10，本轮结束。

最近 8 局
局数	已揭晓币面	结束原因	返还	净收益
完成第一局后，记录会出现在这里。

$Σ$ 　原理揭秘两部分可分别展开：单枚押注的公平性 · 逐枚揭晓的策略

PART 01 · ONE COIN第一部分：单枚押注是公平游戏吗？点击展开 $/$ 收起

1．用 0—1 分布描述一次押注

先假设硬币公平，各次投掷相互独立。把一次投掷的结果记为 $X$ ：反面安全时 $X=1$ ，正面中毒时 $X=0$ 。于是 $X$ 服从参数为 $1/2$ 的0—1 分布（伯努利分布）。

P(X=1)=P(X=0)=1/2

这里的 $E[X]=1/2$ 是“安全指示变量”的平均值，不是平均赚半个筹码。要计算收益，还需要把硬币结果转换成押注的输赢。

令 $W$ 表示“是否押中”：押中时 $W=1$ ，押错时 $W=0$ 。押安全时 $W=X$ ；押中毒时 $W=1−X$ 。因为两面等可能，无论押哪一面， $W$ 都服从同一个 0—1 分布， $P(W=1)=1/2$ 。

硬币结果	概率	押安全	押中毒
反面 · 安全（ $X=1$ ）	$1/2$	押中（ $W=1$ ）	押错（ $W=0$ ）
正面 · 中毒（ $X=0$ ）	$1/2$	押错（ $W=0$ ）	押中（ $W=1$ ）

每局下注 $b$ ，押中返还 2b（含本金），押错返还 0。记返还为 $R$ 、净收益为 $Y$ ，则：

R=2bW，Y=R−b=b(2W−1)

例如下注 10：一半机会净赚 10，一半机会净亏 10，期望净收益为 0。押中毒和押安全只是交换了赢、输对应的币面，收益分布完全相同。“公平”指这个数学模型下双方没有期望收益优势，不是每次都不赚不亏。

2．为什么实际玩起来，并不总是回到 100？

期望描述许多次重复实验的平均，不规定你这一次的结果。假设固定下注 $b$ ，并事先约定完成 $N$ 局、资金足以完成，记其中押中次数为 $K$ ，则 $K$ 服从二项分布 $Bin(N,1/2)$ 。

总净收益 S_{N}=b(2K−N)

例如固定下注 10、完成 10 局：押中 6 次，总净赚 20；押中 4 次，总净亏 20；只有押中 5 次才恰好回本。这些结果都不违背“期望为 0”。随着局数增加，平均每局净收益会趋近 0，但总收益不必越来越接近 0：固定下注时，总收益的标准差反而按 $√N$ 增长。

本页面与固定 $N$ 局模型的区别：你从 100 筹码开始，可选择 10、50 或全押，也可能中途改下注金额；余额不足当前下注额时批量投掷会停止。因此实际完成局数可能变化，混合下注的记录也不能直接套用“固定 $b$ 、固定 $N$ ”的二项分布公式。

不过，只要下注方向和金额是在下一次揭晓前决定的，硬币仍独立、公平，那么每一局在已知过去记录后的条件期望净收益仍为 0。换方向、连续下注或追着输赢加注，都不会改变下一枚正反面各半的规律。

风险体现在结果的波动上：首次全押 100，有一半机会余额变成 200，也有一半机会直接归零。平均余额仍是 100，却不能保护一次实际操作不破产。本金曲线记录的是你经历的一条路径；公平游戏同样可能耗尽本金。

PART 02 · THREE REPEATED TOSSES第二部分：逐枚揭晓怎么玩？点击展开 $/$ 收起

1．概率空间：单枚硬币试验的三次独立重复

沿用第一部分的定义，令 $X₁$ 、 $X₂$ 、 $X₃$ 分别表示三枚硬币是否安全。它们相互独立，且都服从 $Bernoulli(1/2)$ 。一局完整的潜在结果是有序三元组 $(X₁,X₂,X₃)$ ，样本空间 $Ω={0,1}³$ 。

P(X₁=x₁,X₂=x₂,X₃=x₃)=(1/2)³=1/8

八种结果穷举如下。即使玩家提前领取或中毒结束，也可以用这三个潜在结果来分析一局；尚未投掷的硬币并不需要真的揭开。表中的金额是返还总额，已含本金，每局净收益还需减去 10。

$(X₁,X₂,X₃)$	按顺序的币面	概率	第 1 枚安全就领	第 2 枚安全才领	第 3 枚安全才领
$(0,0,0)$	毒 · 毒 · 毒	$1/8$	0	0	0
$(0,0,1)$	毒 · 毒 · 安	$1/8$	0	0	0
$(0,1,0)$	毒 · 安 · 毒	$1/8$	0	0	0
$(0,1,1)$	毒 · 安 · 安	$1/8$	0	0	0
$(1,0,0)$	安 · 毒 · 毒	$1/8$	15	0	0
$(1,0,1)$	安 · 毒 · 安	$1/8$	15	0	0
$(1,1,0)$	安 · 安 · 毒	$1/8$	15	25	0
$(1,1,1)$	安 · 安 · 安	$1/8$	15	25	50

2．第一枚揭晓后：条件概率与条件期望

第一步：先看例子——第一枚已经安全

假设本次第一枚是安全。原来 8 种可能结果缩小为“安毒毒、安毒安、安安毒、安安安”4 种，各占条件概率 $1/4$ 。其中第二枚安全占两种，剩余两枚全部安全只占一种。

安 · 毒 · 毒安 · 毒 · 安安 · 安 · 毒安 · 安 · 安

这是固定教学例子，不读取上方游戏结果。先理解下面的概率和收益，再播放第三点后的完整动画。

如果第一枚中毒（ $X₁=0$ ），本局立即结束。上表只剩前四行，条件概率各为 $1/4$ ；虽然剩余两枚仍各有一半机会安全，但不能挽回本局。此时返还 $R=0$ ，整局净收益 $Y=−10$ 。

如果第一枚安全（ $X₁=1$ ），只剩后四行，条件概率各为 $1/4$ 。第二枚安全对应其中两行，第三枚也安全则只对应最后一行：

P(X₂=1 | X₁=1)=(2/8)/(4/8)=1/2

条件期望也要说明采用的决策：已知第一枚中毒，本局 $E[Y | X₁=0]=−10$ ；已知第一枚安全并决定立即领取，则 $E[Y | X₁=1$ ，立即领取 $]=15−10=5$ 。若选择继续，收益还取决于后面的币面与领取时机，下面用图表分别比较。

3．相同的信息下，不同决策会产生不同的收益

二叉树给出硬币可能出现的结果；领取策略决定每个结果最终换成多少筹码。即使使用同一组币面，玩家在第一枚、第二枚或第三枚后领取，返还也可能不同。

例如“安·安·安”这一条路径，三种策略分别返还 15、25、50；若路径是“安·毒·安”，第一枚就领取能拿到 15，另外两种策略在第二枚中毒时都返还 0。改变策略不改变树上的概率，只改变终点对应的收益。

例 $A$ ：安 · 安 · 安

见好就收

15净收益 +5

再试一次

25净收益 +15

坚持到底

50净收益 +40

例 $B$ ：安 · 毒 · 安

见好就收

15净收益 +5

再试一次

0净收益 -10

坚持到底

0净收益 -10

图中为完整路径确定后的实际返还（含本金），不是期望；两图都按 0—50 筹码绘制。例 $B$ 的第三枚只是潜在结果，第二枚中毒后游戏就结束了。

接下来计算“已知第一枚安全”时各个选择的条件期望。必须先说清楚后续怎样玩，因为相同的信息下，不同决策会产生不同的收益。统一记整局净收益为 $Y=R−10$ ：

第一枚安全后的选择	后续返还 $R$	条件期望返还	条件期望净收益
现在领取	确定得到 15	15	$15−10=5$
第二枚安全就领取	各以 $1/2$ 得到 25 或 0	$(1/2)×25=12.5$	$12.5−10=2.5$
坚持到第三枚	以 $1/4$ 得到 50，否则为 0	$(1/4)×50=12.5$	$12.5−10=2.5$

条件期望净收益 2.5 不是说“继续一定再赚 2.5”。它已经包含开局支付的 10；而你现在可以确定领取 15。若继续到第二枚，平均返还只有 12.5，比现在领取少 2.5。

为什么第一枚安全后平均能赚，开局平均却可能亏？第一枚安全这个条件已经排除了一半立即亏损的结果。例如采用“见好就收”， $E[Y | X₁=1]=5$ ， $E[Y | X₁=0]=−10$ 。用全期望公式合起来： $E[Y]=(1/2)×5+(1/2)×(−10)=−2.5$ 。

播放完整例子——硬币、二叉树、领取结果一起看

独立教学演示

选择一组预设币面，逐枚观察信息如何缩小可能范围，以及三种策略何时领取、何时失败。演示不消耗游戏筹码，也不读取上方游戏进度。

演示例子

信息更新：二叉树保留哪些路径？

同一进度，三种策略分别怎样结算？

灰色分支与已揭晓币面不符；虚线条表示尚未结算，并非返还 0。返还含本金，净收益 $=$ 返还 $−10$ 。中毒后停止揭晓，未投掷的币面保持隐藏。

4．最优策略：从最后一步向前推

这里把“最优”明确为：已经决定参与本局，以最大化期望净收益为目标。先看后面的决策，再回到第一枚安全时，这样才能把后续选择也考虑进去。

前两枚都安全时：现在领取 25；继续则有一半机会领 50、一半机会领 0，期望也是 25。因此两种选择在期望上相同，立即领取的风险更低。记这一状态的最优期望返还为 $V₂$ 。

V₂=max{25，(1/2)×50+(1/2)×0}=25

第一枚安全时：现在领取 15；若继续，第二枚安全后最多能取得期望返还 $V₂=25$ ，中毒则为 0。所以继续的最优期望返还是 12.5。

V₁=max{15，(1/2)V₂+(1/2)×0}=max{15，12.5}=15

因此，按期望收益比较，最优选择是第一枚安全就领取。即使允许在第二枚后再改变主意，也不能提高第一枚后继续的期望。这个结论不表示该策略在每一组币面下都赚得最多：遇到“安安安”，坚持到底返还 50，确实高于 15。

从开局看，最优策略的期望净收益=(1/2)×V₁−10=−2.5

“三种策略中期望最高”仍不代表正期望；如果也允许选择不参与本局，不参与的净收益为 0。下面只比较已经参与时的三种领取策略。

策略	领到奖金的概率	成功时返还	每局 E[Y]	单局标准差
见好就收	$1/2$	15	$(1/2)×15−10=−2.50$	7.50
再试一次	$1/4$	25	$(1/4)×25−10=−3.75$	$≈10.83$
坚持到底	$1/8$	50	$(1/8)×50−10=−3.75$	$≈16.54$

成功概率为 $p$ 、成功返还为 $r$ 时， $Var(Y)=r²p(1−p)$ 。后两种策略的期望相同，但坚持到底的标准差更大，说明收益波动更强。

5．用模拟检验：同一批硬币，三种策略

每局生成同一组三枚硬币，分别交给三种策略结算，相当于在同一组机会下比较不同选择。模拟固定每局投入 10，完成所选局数，不受余额限制，也不会扣除游戏筹码。

模拟局数

每次点击都会重新随机生成一批硬币结果。同一次模拟内，三种策略仍使用同一批结果，便于公平比较；不同次模拟可能得到不同的曲线与统计值。

● 见好就收 · 1 枚安全● 再试一次 · 2 枚安全● 坚持到底 · 3 枚安全

点击“比较三种策略”，观察累计净收益曲线。

策略	理论平均净收益	模拟平均净收益	模拟亏损局比例	模拟总净收益
见好就收	$−2.50 /$ 局	—	—	—
再试一次	$−3.75 /$ 局	—	—	—
坚持到底	$−3.75 /$ 局	—	—	—

先观察 100 局，再增加局数或再次点击生成另一批硬币，比较平均净收益与理论值。

看模拟时分清三件事：理论期望不随随机抽样改变；一次模拟可能偏离理论，局数增加也不保证每次都更接近；两种期望相同的策略，仍可能走出不同的收益曲线。

固定策略、独立重复时，单局收益有界，大数定律使样本平均趋近理论期望。固定 $N$ 局的期望总净收益为 N·E[Y]。三条曲线共用硬币结果，彼此相关，不是三批独立样本；上方真实游戏还会因余额不足提前结束，与这里完成固定局数的模拟不同。

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