几何概率 · Buffon's Needle

蒲丰投针

把长为 $L$ 的针随机投到间距为 $ℓ$ 的平行线平面上，用相交频率估算圆周率 $π$ ——这是历史上第一个蒙特卡洛实验。

法国博物学家布丰在 1733 年提出这个几何概率问题，并在 1777 年发表解答。它把一次看似随意的投针实验与圆周率联系起来，后来成为随机模拟思想的经典先声。

游戏规则

目标用大量随机投针，估算圆周率 $π$ 的近似值。
操作点击批量按钮投针，或直接点击画布追加一根针。
判定针与任意一条平行线相交记为「相交」，否则「不相交」。
原理 $π ≈ 2L·N / (ℓ·K)$ ，其中 $K$ 为相交针数， $N$ 为总投针数。

实验画面

📍 蒲丰投针 · 蒙特卡洛估算 $π$

红色为与平行线相交的针，蓝色为不相交的针。

📐 经典 $0/1$ 判定
教科书上的原始做法：相交记 1，不相交记 0。有限画布采用完整条带与缓冲区，避免边缘截断造成偏差。

平行线数量针的长度

—

估算的 $π$ 值

$π =$ 3.14159265358979

总投针数

相交针数

绝对误差

—

相对误差

—

正在投针…

$π$ 估计值收敛曲线（浅蓝带为约 95% 理论波动范围）

⚙

参数说明

平行线—
线间距 $ℓ$ —
针长比例—
相交概率—
估算式 $π̂ = 2L·N / (ℓ·K)$

▸

操作指南

点击批量按钮投针，或直接点击画布投一根。
观察 $π$ 近似值随投针数增多而趋近 3.14159。

P(相交) = 2L / (πℓ)  →  π̂ = 2L·N / (ℓK)

第一部分：无限平面上的经典结果

$θ$ 是针与平行线的夹角。比较中心距离 $X$ 与半针的垂直投影，就能判断是否相交；下文依次计算固定角度下的概率，再对所有角度积分。
构图参考：伊利诺伊大学 Buffon’s Needle 教学图；本页按统一符号重新绘制。

设无限平面上画有间距为 $ℓ$ 的平行直线，针长为 $L$ ，并要求 0 $<$ $L ≤ ℓ$ 。每次投针相互独立；针的中心位置相对于平行线均匀，针的方向也均匀。

符号	含义	分布或取值
$Θ$	针与平行线的锐夹角	$Θ ~ Uniform(0, π/2)$ ，密度 $2/π$
$X$	针中心到最近平行线的距离	$X ~ Uniform(0, ℓ/2)$ ，密度 $2/ℓ$
$I$	是否相交的指示变量	相交为 1，否则为 0

1. 几何相交条件

针在垂直于平行线方向上的半投影长度是 $(L/2)sinΘ$ 。只有当针中心到最近线的距离不超过这个投影时，针才会越过平行线：

I = 1  ⇔  X ≤ (L/2)sinΘ

2. 固定角度后计算相交概率

给定 $Θ=θ$ 后， $X$ 在 $[0,ℓ/2]$ 上均匀，所以“有利长度”除以“总长度”得到：

P(I=1 | Θ=θ) = [(L/2)sinθ] / (ℓ/2) = (L/ℓ)sinθ

3. 对所有方向取平均

再对 $θ∈[0,π/2]$ 按均匀方向密度 $2/π$ 积分：

p = ∫₀^(π/2) (L/ℓ)sinθ · (2/π)dθ = (2L)/(πℓ)

其中 $∫₀^(π/2)sinθ dθ=1$ 。线有多少条并不出现在最终概率中；关键是针中心相对于线间距的“相位”必须均匀。

4. 从相交频率反推 $π$

连续投 $N$ 次，令 $K=I₁+⋯+Iₙ$ 为相交次数，则 K ~ Binomial(N,p)，样本相交率 $p̂=K/N$ 。由大数定律 $p̂→p$ ，因此：

π = 2L/(ℓp)  ⇒  π̂ = 2L/(ℓp̂) = 2L·N/(ℓK)

当 $K=0$ 时分母为零， $π̂$ 暂时没有定义；这也是页面在实验初期可能显示“—”的原因。

第二部分：有限画布上的蒲丰投针

无限平面的证明不能直接套到任意矩形画布。本实验不是简单地把无限平面截断，而是特意构造“整数个完整条带＋半针长缓冲区”，使有限画布中的随机变量 $X$ 与无限平面完全同分布。

1、实验设置

画布高度记为 $H$ ，选择 $q$ 条平行线，于是完整条带数 $m=q−1$ 。令针长比例 $r=L/ℓ$ ，页面按下式同时确定线间距和针长：

ℓ = H/(m+r),    L = rℓ,    y₀ = L/2

针中心的纵坐标 $Y$ 均匀取自 $[y₀, y₀+mℓ]$ ；上下各留下 $L/2$ 的缓冲区。横坐标均匀取自 $[L/2, W−L/2]$ ，所以针无论取什么角度都不会越出画布。

若允许针伸出左右边界，针可能在画布外才与直线相交；若把这种针丢弃，又会让不同角度具有不同的保留概率。本实验把针中心在水平和垂直方向都缩进 $L/2$ ，保证整根针及其交点始终位于画布内，因此不需要拒绝采样。

2、 $π$ 的估计

定义针中心在一个条带内的位置 $U=(Y−y₀) mod ℓ$ 。由于 $Y$ 的取值区间恰好由 $m$ 个长度均为 $ℓ$ 的完整周期组成，每个周期对 $U$ 的贡献完全相同，因此：

U ~ Uniform(0,ℓ),    X = min(U,ℓ−U) ~ Uniform(0,ℓ/2)

这不是“大画布近似无限平面”，而是一个精确的有限构造。 $X$ 和 $Θ$ 的联合分布与经典模型相同，所以有限画布仍严格满足 $p=2L/(πℓ)$ 。

p = ∫₀^(π/2) (L/ℓ)sinθ·(2/π)dθ = 2L/(πℓ)

π̂ = 2L·N/(ℓK)

3、误差分析

相交次数 $K$ 服从二项分布。样本相交率的标准差为 $√[p(1−p)/N]$ 。对 $π̂=2r/p̂$ 使用一阶 Delta 方法，可得到 $π$ 估计量的近似标准误：

SE(π̂) ≈ π√[(1−p)/(Np)] ≈ π̂√[(1−p̂)/(Np̂)]

因此一次实验约有 95% 的概率落在“真值上下约 1.96 个标准误”的典型波动范围内。标准误按 $1/√N$ 缩小：投针数增加 100 倍，典型误差才缩小约 10 倍。

本次模拟的误差诊断

当前设置—

样本相交率 $p̂=K/N$ —

当前 $π̂$ —

估计标准误 SE—

约 95% 典型误差阈值—

本次实际绝对误差—

开始投针后，这里会把理论误差与上方模拟结果逐项对应。

由于函数 $1/p̂$ 是非线性的， $π̂$ 在有限样本下有轻微向上的偏差。二阶近似为 $Bias(π̂)≈π(1−p)/(Np)$ ，但它同样随 $1/N$ 消失。以上标准误和 95% 范围属于大样本近似；当 $N$ 很小或 $K=0$ 时，不应把它当作可靠区间。