几何概率 · 尺度与概率

网格投币 · 1角与1元的胜负

向边长 35 毫米的方格桌面随机抛掷硬币，只有完全落在格内才得分。1角与1元并排同场对照——直径每增大一分，成功率便以平方的速度塌缩。

游戏规则

你和电脑各有 100 筹码，每轮各花 10 筹码投一次硬币。整枚落入方格才有回报，谁先输光谁就输。

1
先选玩法，确定各自的硬币

模式一 · 回报固定，你先选
1角成功回报 50 筹码，1元成功回报 100 筹码。你选1角或1元，电脑使用另一种。

模式二 · 你定回报，电脑先选
两种回报合计 150 筹码。你设置1角的回报，1元自动取剩余数额；每种可设为10—140筹码，按10筹码递增。电脑选一种，你使用另一种。

在下方“选择玩法”中设置好，再开始投掷。首次投掷后，本场不能换硬币或改回报。
2
点“投掷一轮”，双方各花10筹码
你和电脑各投一次，落点独立随机。无论成功还是失败，都先扣10筹码；回报由系统分别发给双方，不从对手余额中扣除。
3
整枚落入同一个方格，领取回报
硬币不能跨过格线，也不能伸出桌面；恰好贴着格线仍算成功。成功收到该硬币的全部回报，失败收到0筹码。收到的筹码加入余额，可以继续投掷。
4
每轮结算后，检查是否有人输光
只有一方余额变成0筹码，该方输，另一方赢；双方同一轮都变成0筹码，则平局。只要双方还有筹码，就能继续，不是投满10轮就结束。

每轮净赚或净亏 $=$ 收到的回报 $− 10$ 筹码

回报已经包含本金，不会再另退10筹码。以模式一为例：

1角成功收到50筹码，净赚40筹码1元成功收到100筹码，净赚90筹码任一种失败收到0筹码，净亏10筹码

实验画面

选择玩法

游戏模式选择硬币设置回报（筹码）

1角 1角硬币Ø19 mm

你 · 成功 0 次

1元 1元硬币Ø25 mm

电脑 · 成功 0 次

双方筹码变化

你 · 100筹码电脑 · 100筹码

投掷对局

双方各有 100 筹码，每轮各投入 10。

选好模式即可开局，奖励可用于继续投掷。

成功次数 · 实时计数

两根柱使用相同刻度：0—10 次

你 · 1角

0 次

电脑 · 1元

0 次

你的余额100累计奖励 0 · 净收益 0

电脑余额100累计奖励 0 · 净收益 0

统计说明

每轮双方独立落桌、同时结算，任一方输光便结束。画面保留最近 60 次落点，柱状图累计整场成功次数。

余额 $= 100 −$ 累计投入 + 累计回报；净收益 $=$ 余额 $− 100$ 。每轮双方先各投10再结算；任一方余额为0即结束。暂停不结算胜负。

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参数说明

方格边长 $a$ 35 mm， $10 × 10$ 网格，桌面共 350 mm
硬币直径 $d$ 1角 $19 mm / 1$ 元 25 mm，按真实比例绘制
筹码规则初始100，每轮投入10；回报可继续投入，无固定轮数上限

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操作指南

选模式：固定50／100由你选硬币；自定回报由机器先选，双方各有100筹码。
可逐轮、连投10轮或自动对局；任一方输光自动停止，也可暂停自动对局。
先输光者输，同时输光平局；点「重开 $/$ 修改设置」清空本场，恢复双方100筹码。

1．明确试验：什么算“成功”？

桌面由 $10×10$ 个正方形格子组成，每格边长 $a=35 mm$ ，桌面边长为 350 mm。本实验设定的两种硬币直径分别为 $d=19 mm$ （1角）和 $d=25 mm$ （1元），半径 $r=d/2$ 。一次成功是指：整枚硬币落在同一个方格内，不跨越格线；圆心落进某个格子本身并不足以判定成功。

概率模型假设圆心在整个桌面上均匀分布，横、纵坐标独立；每次投掷独立，硬币最终看作平放的圆盘。两种硬币各自独立生成落点，并不是共用同一个圆心。旋转动画用于展示投掷过程，成功与否由最终圆心和直径判定；已画出的硬币不会阻挡后续投掷。

2．把“圆盘不越线”转化为“圆心落在哪”

只看一个方格，以左上角为原点，设圆心相对坐标为 $(u,v)$ 。不越过左右边界要求 $r≤u≤a−r$ ，不越过上下边界要求 $r≤v≤a−r$ 。四个条件同时满足时，圆心恰好落入一个向内缩进 $r$ 后的正方形，其边长是 $a−2r=a−d$ 。

硬币是圆形，平面内转动不会改变它到格线的最大伸出距离，因此这个判定不需要另乘一个“角度概率”。

3．由面积比得到理论概率

在均匀分布下，落入某一区域的概率等于该区域面积占总面积的比例。100 个方格各贡献一个相同的安全区，因而：

P(成功)=100(a−d)² / (100a²)=(1−d/a)²，0≤d<a。

也可以按两个方向推导：横向允许区间占比为 $(a−d)/a$ ，纵向同样如此；由于坐标独立，两者相乘得到上述平方。不能只用 $1−d/a$ ，因为那仅保证一个方向不越线。

桌面边缘也参与判定：程序不把圆心采样范围预先向内缩小。圆心可能靠近桌边，此时硬币伸出桌面的部分会被画布裁切，但本次投掷仍计入总数，并判为失败。因此整个 $10×10$ 桌面的面积比与单格公式一致。

代码用“距离 $≥r$ ”判定，允许恰好相切；若采用严格不接触格线的“距离 $>$ $r$ ”，在连续均匀模型下，边界面积为零，理论概率不变。 $d=a$ 时只有孤立的圆心位置能刚好容纳硬币，概率仍为 0； $d$ $>$ $a$ 时不可能成功。

4．代入参数：为什么大硬币更难成功？

本实验硬币	直径 $d$	安全区边长 $a−d$	理论成功率 $p$
1角	19 mm	16 mm	$256/1225 ≈ 20.90%$
1元	25 mm	10 mm	$100/1225 ≈ 8.16%$

1元硬币成功率是1角硬币的 $100/256=39.0625%$ ，即约为原来的 39.1%，相对降低约 60.9%；两者相差约 12.73 个百分点。这里“百分点差”和“相对下降百分比”是不同量。

决定概率的是无量纲比值 $d/a$ 。若方格与硬币同时按相同比例放大，成功率不变；固定方格时增大硬币，成功率下降。几何原因是横向和纵向的可行范围同时缩小，而不是硬币面积与方格面积之比。

5．两种模式：回报高不一定划算

每人初始 100 筹码，每轮投入 10，成功获得总回报 $R$ （包含本金），失败回报为 0。每轮净变化为 $RI−10$ ，其期望为 $pR−10$ 。模式一固定1角回报50、1元回报100，因此每轮期望净收益分别约为 +0.449 和 $−1.837$ 筹码。

你先选一种硬币，电脑使用另一种；双方独立落桌、同时结算。正期望不保证不输光，但在这组参数下1角的长期收益和整场生存机会都更有利。奖励回到余额中，可以继续投入下一轮。

6．模式二：机器怎样选？双方能赚多少？

先定回报，再分配硬币：你设置1角回报 $R$ 角，1元回报自动为 $150−R$ 角。每种回报为10—140之间的10的倍数，全部14组都可选，包含30／120。机器先选一种，你使用另一种；双方都是玩家，都从100筹码开始，每轮各投入10。

先看“赚多少”：回报包含本金，成功净赚 $R−10$ ，失败净亏10；一次可下注的投掷，其期望净收益为 $μ=pR−10$ 。这个期望描述重复下注时的平均变化，不是每轮实际到账的金额。下表中的正号表示平均盈利，负号表示平均亏损，单位均为“筹码／轮”。

μ角=(256/1225)R角−10；μ元=(100/1225)R元−10。

全部回报配置：机器与玩家的单轮期望净收益（四舍五入至0.001）
总回报 1角 $/ 1$ 元	机器选	机器期望净收益	你使用	你的期望净收益
$10 / 140$	1元	+1.429	1角	$−7.910$
$20 / 130$	1元	+0.612	1角	$−5.820$
$30 / 120$	1元	$−0.204$	1角	$−3.731$
$40 / 110$	1角	$−1.641$	1元	$−1.020$
$50 / 100$	1角	+0.449	1元	$−1.837$
$60 / 90$	1角	+2.539	1元	$−2.653$
$70 / 80$	1角	+4.629	1元	$−3.469$
$80 / 70$	1角	+6.718	1元	$−4.286$
$90 / 60$	1角	+8.808	1元	$−5.102$
$100 / 50$	1角	+10.898	1元	$−5.918$
$110 / 40$	1角	+12.988	1元	$−6.735$
$120 / 30$	1角	+15.078	1元	$−7.551$
$130 / 20$	1角	+17.167	1元	$−8.367$
$140 / 10$	1角	+19.257	1元	$−9.184$

再看“谁先输光”：机器的选边目标是提高“你先输光、它仍有筹码”的概率，并不是挑上表中期望净收益更高的一种。回报和成功概率同时影响余额波动及输光时间。程序为每组回报预先模拟100,000场，比较两种硬币各自获胜的频率，选择估计值较大者；你获得另一种。实际对局重新独立产生落点，机器不能改动结果。

三个例子：整场胜负的模拟估计（不是单轮成功率）
回报 1角 $/ 1$ 元	机器选	机器获胜	你获胜	平局
$30 / 120$	1元	47.345%	46.815%	5.840%
$40 / 110$	1角	59.478%	36.403%	4.119%
$50 / 100$	1角	72.571%	21.658%	5.771%

30／120：机器使用1元，成功净赚110、失败亏10，每轮期望约 $−0.204$ ；你使用1角，成功净赚20、失败亏10，每轮期望约 $−3.731$ 。这里“接近平衡”仅指整局胜负概率接近，不表示双方期望收益相等。模拟中机器与玩家胜率相差约0.53个百分点，差距很小且含抽样误差，不能据此断言机器具有明确的真实胜率优势。

40／110：机器选1角，虽然它每轮期望约 $−1.641$ ，低于你的 $−1.020$ ，但模拟中它更容易撑到对方先输光；这是“期望收益最大”和“获胜概率最大”不同的例子。50／100：机器同样选1角，其期望净收益约+0.449，你约 $−1.837$ 。

开放全部配置后，机器估计胜率约47.3%—90.5%；有平局时，选到估计胜率更高的一方也不等于胜率超过50%。每场预先模拟最多5,000轮，本次全部样本均在限额内结束；模拟采用固定种子，结果可复算，但不能当作精确概率或必胜保证。

总回报限制仍为150。若两种硬币都具有非负期望，总回报至少需要 $10/p$ 角 $+10/p$ 元 $≈170.3516$ 。因此当前配置至少有一方具有负漂移，持续独立投掷时它几乎必然最终输光，对局几乎必然结束，但没有确定的轮数上限。停止时间由结果决定，不能把表中的单轮期望乘一个随意指定的轮数，当作整场期望收益。