双骰挑战 · 两种玩法

对子博弈

选一种玩法，从 $100 开始。掷出点数、领取奖金，看看这一轮能走多远。

游戏规则

初始余额 $100 · 每局花费 $10 · 两枚骰子点数相同即为“对子”

奖金是本局收到的全部金额，净盈亏 $=$ 奖金 $−$ $10。切换模式会重开一轮；余额不足 $10 时本轮结束。

实验画面

掷骰台

💰 当前余额 $100.00

骰子 $A$

骰子 $B$

→

奖金

点击按钮开始游戏

36 格奖金表

每格上方是两枚骰子的点数，下方是对应奖金。

金色底 · 对子蓝色框 · 本次结果

批量投掷最多进行所选局数，奖金结算后可以继续下注，余额不足 $10 时提前结束。

本轮统计

净盈亏

累计下注

累计奖金

投掷次数

对子次数

对子出现比例

📝 最近记录

暂无记录

本金变化

当前余额 $100.00

按投掷顺序记录每局结算后的余额；虚线为初始本金 $100。

第 0 局 · 初始本金 $100.00

1．先定义一次试验

假设两枚骰子都是公平的六面骰，彼此独立，各局投掷也相互独立。用有序对 $(A,B)$ 记录点数，每个有序对的概率为 $1/36$ ； $(2,3)$ 与 $(3,2)$ 是两个结果。36 个结果中有 6 个对子，所以对子事件 $D$ 的概率是 $1/6$ ，非对子的概率是 $5/6$ 。

记点数和为 $S=A+B$ ，奖金为 $R$ ，单局净收益为 $Y=R−10$ 。这里的奖金是本局收到的全部金额，不是额外净赚的钱。例如奖金 $8 表示净亏 $2，奖金 $10 表示回本。

2．从点数得到奖金分布

玩法	非对子	对子
模式 $A$	$R=S+2$	$R=2S$
模式 $B$	$R=S$	$R=3S$

等概率的是 36 个有序对，不是点数和，也不是奖金。将奖金相同的结果合并，就得到 $P(R=r)=$ 产生奖金 $r$ 的结果数 $÷ 36$ 。

例如模式 $A$ 的 $8 奖金来自 $(1,5)$ 、 $(2,4)$ 、 $(4,2)$ 、 $(5,1)$ 四个非对子，以及对子 $(2,2)$ ，合计 $5/36$ 。 $(3,3)$ 虽然点数和也为 6，但按对子规则奖金为 $12，不能计入。

当前模式

下图为当前模式的理论奖金分布，切换玩法时更新，不随单次投掷改变。条形按 0%—100% 的统一尺度绘制；金色表示该奖金包含对子来源，也可能同时包含非对子来源。

3．为什么两类结果的平均点数和都是 7？

单枚骰子的期望点数为 $(1+2+3+4+5+6)/6=3.5$ ，所以 $E[S]=7$ ，36 个结果的点数和总计为 $36×7=252$ 。

在对子条件下，6 个结果仍然等概率，对应的点数和是 2、4、6、8、10、12，总计 42，条件均值为 $42/6=7$ 。剩余 30 个非对子的条件均值为 $(252−42)/30=7$ 。

因此 $E[S｜D]=E[S｜$ 非 $D]=7$ 。条件均值相同不代表条件分布相同，也不代表点数和 $S$ 与对子事件 $D$ 独立：对子时点数和不可能为奇数。

4．期望：按概率加权的理论平均值

期望不是下一局的预测，而是把各个可能收益按其概率加权得到的平均值。按全期望公式：

E[R]=(5/6)E[R｜非 D]+(1/6)E[R｜D]

在这里各局收益独立同分布且有界，大数定律说明：持续重复同一种玩法时，每局净收益的样本平均几乎必然趋近 E[Y]。这不保证每局亏损，也不保证有限局数的总收益为负。

5．两种玩法，哪一种期望更高？

指标	模式 $A$	模式 $B$
期望奖金 E[R]	$59/6 ≈$ $9.8333	$28/3 ≈$ $9.3333
期望净收益 E[Y]	$−1/6 ≈ −$ $0.1667	$−2/3 ≈ −$ $0.6667
庄家优势 $−E[Y]/10$	$1/60 ≈ 1.67%$	$1/15 ≈ 6.67%$
固定 100 局的期望净收益	$−$ $16.67	$−$ $66.67
固定 1000 局的期望净收益	$−$ $166.67	$−$ $666.67

从模式 $A$ 改为 $B$ ，对子奖金增加 $S$ ，平均每局增加 $(1/6)×7=$ $ $7/6$ ；非对子取消 $2 补贴，平均每局减少 $(5/6)×2=$ $ $5/3$ 。合计期望奖金减少 $0.50。因此，按每局期望净收益比较，模式 $A$ 更有利，但两种模式的期望净收益都为负。这个比较不代表模式 $A$ 在每一次投掷中都更有利。