条件概率 · 自定赌注

连续投币

连抛硬币，连续出现两次正面即为一局结束；庄家开局给你 5 筹码，你抛掷的次数就是支付的筹码——抛掷越少，赚得越多。

游戏规则

一直抛，直到连续两次正面出现。抛得越少，最后留下的筹码越多。

1
点“新的一局”，先领 5 筹码
每局重新计算。小猫正脸是正面 $H$ ，小猫背影是反面 $T$ 。
2
每抛一次，花 1 筹码
点击“抛一次”，等硬币落下，再继续抛。无论正面还是反面都要付费，最后那一次也算。
3
相邻两次都是正面，自动结束
H H 才能结束；H T H 中间隔着反面，还要继续抛。出现反面时只需重新等待连续正面，已花的筹码不会退回。

结束后算赚亏： $5 −$ 本局总抛掷次数

2～4 次结束净赚 3～1 筹码5 次结束不赚不亏6 次及以上结束净亏 1 筹码起

举个例子

$H$ 第 1 次 $T$ 第 2 次 $H$ 第 3 次 $H$ 第 4 次→ 结束，净赚 1 筹码

前面虽然出现过正面，但直到第 3、4 次连续为正面才结束：领 5 筹码，花 4 筹码，剩下 1 筹码。

注意：5 筹码花完也要继续抛，直到出现 H H；超出的费用记为亏损。出现 H H 只是结束条件，不代表一定赚钱。

想多看几局？点“模拟 200 局”，系统会按同样规则自动完成 200 局，并逐局更新历史和收益图。

试验中心

COIN TOSS

抛硬币台

等待开局

$H$ 正面 · 小猫正脸 $T$ 反面 · 小猫背影

点击“新的一局”，开始你的抛硬币试验。

本局过程

等待新的一局

已抛次数0

本局账面收益 $· 5 −$ 次数—

抛掷序列等待连续 HH

每抛一次花 1 筹码。必须等到相邻两个 $H$ 才能结算；账面变成 0 或负数也要继续，负数表示亏损。

等待开局连续两个 $H$ 出现时，本局自动结束并结算。

历史记录

完成一局后生成记录

局号	方式	抛掷序列	次数	净收益

最新对局在最上方，金色 HH 表示结束位置。较长序列仅显示末尾 80 次，完整次数计入统计。

试验统计

统计全部已完成对局

完成局数

手动与模拟合计

总净收益

筹码

平均抛掷 $/$ 局

—

次

平均收益 $/$ 局

—

筹码

胜 $/$ 负场

$0 / 0$

净赚 $/$ 净亏

持平局数

恰好抛 5 次

重置会停止当前试验，并清空所有记录与图表

每局收益

当前展示 0 局

单局收益 $= 5 −$ 抛掷次数

理论期望 $= −1$ 筹码

每个点代表一局结算结果；单局收益会持续波动。历史表和图表只展示最近记录，上方统计包含全部对局。

累计收益

第 0 局 · 累计 0 筹码

从第 1 局起累加的净收益

零收益参考线

从第 0 局的 0 筹码开始，展示全部已完成对局的累计结果；最右端与“总净收益”一致。继续模拟会接着累计，重置后重新开始。

从“等到连续正面”，到计算平均收益把抛硬币的过程分成几个状态，就能算出平均要等多久，再把等待次数换成筹码收益。

1．先明确随机模型

假设硬币公平，每次出现正面 $H$ 、反面 $T$ 的概率均为 $1/2$ ，各次抛掷相互独立。每局从头开始，直到首次出现连续两次正面 HH时结束。记本局总抛掷次数为 $N$ ，净收益为 $Y$ 。

Y = 5 − N， N = 2, 3, 4, …

开局获得 5 筹码，每抛一次花 1 筹码，最后一次也计入成本。5 筹码花完仍继续抛，因此 $N$ 可以大于 5，净收益也可以为负。

2．用三个状态建模：平均为什么是 6 次？

在游戏尚未结束时，未来还要等多久，只取决于末尾连续出现了几个正面，不必记住之前所有结果。用 $S₀$ 、 $S₁$ 、 $S₂$ 表示末尾连续正面的个数，就得到下面的马尔可夫链。

蓝色箭头：抛到正面，向前一步；金色箭头：抛到反面，回到 $S₀$ 。到达 $S₂$ 后停止抛掷，上方自环只表示保持结束状态，不再增加次数。

$S₀$ 包括“刚开局”和“上一次是反面”两种情况。例如 HT 虽然出现过正面，但末尾是 $T$ ，仍回到 $S₀$ 。状态回到起点，之前的抛掷次数和成本不会清零。

沿着箭头，写出平均剩余次数

设 $E₀$ 、 $E₁$ 、 $E₂$ 分别表示从三个状态出发，到结束还需要抛掷的平均次数。 $S₂$ 已经结束，所以 $E₂ = 0$ 。对于尚未结束的状态，先抛下一次，再按结果的概率加上之后的等待次数：

E₀ = 1 + ½E₁ + ½E₀

两个方程里的 1 都是“接下来必抛的那一次”。从 $S₀$ 出发，正面走到 $S₁$ ，反面留在 $S₀$ ；从 $S₁$ 出发，正面就结束，反面回到 $S₀$ 。

第一式整理成 $E₀ = 2 + E₁$ ，将第二式代入：

E₀ = 2 + (1 + ½E₀) = 3 + ½E₀

结论： $E[N] = 6$ 。每局从 $S₀$ 开始，因此首次出现 HH 平均需要抛 6 次。这是许多局的理论平均，不是每局都恰好抛 6 次。

3．期望收益是多少？

一次游戏的净收益是开局获得的 5 筹码，减去抛掷的总成本。每次成本为 1 筹码，平均抛掷次数为 6，因此由期望的线性性：

E[Y] = E[5 − N] = 5 − E[N] = −1 筹码

$−1$ 表示长期平均每局亏 1 筹码，并不表示每一局都亏 1 筹码。例如 HH 让你赚 3 筹码，但等待很久的一局会带来更大的损失。硬币的正反面机会相同，也不代表这个收费规则下的游戏期望公平。

如果预先固定完成 200 局，总净收益的期望为 $200 × (−1) = −200$ 筹码。实际模拟结果会有波动，不必恰好等于 $−200$ ；若中途停止，也不能把完整 200 局的期望直接当作这次结果。

在试验中看什么？

独立重复很多局时，“平均抛掷 $/$ 局”趋近 6，“平均收益 $/$ 局”趋近 $−1$ 。每局收益图展示单局的起伏，虚线 $−1$ 是理论平均值；累计收益图展示从第一局起的收益总和，虚线 0 表示不赚不亏。累计收益可以暂时回升，并不保证逐局下降。

若想让游戏期望公平：保持每次花 1 筹码、出现 HH 就结束的规则，开局应给 6 筹码，此时 $E[Y] = 6 − 6 = 0$ 。

4．延伸：要求连续三个正面，初始给10个筹码，你愿意参加吗？

现在开局给你 10 个筹码，每抛一次仍花 1 筹码，但必须等到首次出现 HHH 才能结束，筹码花完也要继续。初始筹码增加了，这个游戏就更值得参加吗？先算一算平均需要抛多少次。

仍然使用公平硬币，且各次抛掷独立。末尾连续正面的个数可以是 0、1、2、3，因此需要四个状态：

0 个 $H$ H →1 个 $H$ H →2 个 $H$ H →3 个 H · 结束

每条向前的箭头概率都是 $1/2$ ；在结束之前，只要抛到 $T$ ，就以 $1/2$ 的概率回到“0 个 $H$ ”。尤其是已经抛出 HH 时，下一次若为 $T$ ，也要重新等待完整的 HHH。

用 $F₀$ 、 $F₁$ 、 $F₂$ 、 $F₃$ 表示这个新模型中各状态的平均剩余次数。与前面一样，先计入下一次抛掷，再按概率考虑之后的状态：

F₀ = 1 + ½F₁ + ½F₀

从后往前代入，得到 $F₁ = 3/2 + (3/4)F₀$ ，再代入第一式：

F₀ = 7/4 + (7/8)F₀

连续三个正面，平均需要 14 次。比连续两个正面的 6 次增加了 8 次，而非只增加 1 次：多等一个正面的过程中，反面可能让已经积累的连续正面全部失效。

期望净收益 = 10 − 14 = −4 筹码

如果目标是长期平均获利，这个游戏不值得参加。虽然初始给了 10 筹码，但平均成本为 14 筹码，每局期望亏 4 筹码，比原来每局期望亏 1 筹码更不利。这不代表每一局都会亏损；若希望期望公平，初始应给 14 筹码。

这里是对新规则的理论拓展。上方试验仍在首次出现 HH 时结束。

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