贝特朗悖论 · 三种随机，三种概率
用三种不同的「随机画弦」方式，得到圆内长于内接正三角形边长的弦占比竟各不相同。题目若只说「随机」，还不足以确定唯一概率。本实验直观展示「随机」定义对几何概率的决定性影响。
游戏规则
- 目标用三种随机抽样方式在圆内画弦，对比所得概率。
- 操作选择方案
，点击批量生成，弦会画入对应编号的画布。 - 判定弦长大于内接正三角形边长记为「长弦」，统计其频率。
- 提示方案 理论概率分别为
、
、
。
正三角形边长)普通弦弦随机生成方案切换
红色表示长弦，虚线圆半径为 
。每幅画布显示最近 1500 条弦，累计统计包含全部样本；下方原理演示也采用此规则。
当前方案累计弦数：0
其中长弦数（＞正三角形边长）：0
模拟观测频率：—
理论概率：
圆弧内时弦才够长，这段弧占整个圆周的 ，故理论概率为 。
实验原理
贝特朗悖论的关键：在未严格定义「随机」前，求解「圆内弦长大于内接正三角形边长」会得到三组不同答案（、、）。本实验依靠大数定律，随着样本量增大，模拟频率逐步收敛到对应方案的理论概率，直观体现几何概率中「测度定义」的决定性作用。
参数说明
- 生成弦数量单次批量绘制的弦总数，样本量增大时波动通常减小，但误差不保证逐次下降
- 三种随机模式对应贝特朗三种经典解法，理论概率 、、
- 画布尺寸各画布以自身半径
计算；概率不随圆的大小改变
操作指南
- 选择一种随机生成方案，查看对应原理与理论概率
- 点击批量生成，观察画布上红色长弦与灰色普通弦分布
- 不断叠加样本，比较频率与理论值，留意有限样本仍会波动
贝特朗悖论说明：计算概率前，需要先说明怎样抽样。设圆半径为 ，弦中点到圆心的距离为 
，则弦长 
。因此 
当且仅当 
。以下三种抽样规则给 赋予了不同的分布。
① 圆周端点均匀：固定一端后，另一端落在对面 的开圆弧内才是长弦，概率为 
。
② 半径上的距离均匀： 在 [0, R] 上均匀分布，故 P(d 
。
③ 圆内面积均匀：中点落入半径 的圆，概率为 
。此时 的密度为 
；将 本身均匀抽样会变成方案二。
下方为便于观察而固定一个端点或一条直径。前两幅图与上方相应方案的弦长分布相同，但弦在圆内的位置与方向分布不同。固定直径模型在整条直径上按长度均匀取中点，再作垂直弦。
本页采用严格的“大于”判定。在这些连续模型中，恰好相等的概率为 0；中点恰在圆心时任选一条直径，也不改变理论概率。大数定律描述长期收敛，不保证每增加一批样本就更接近理论值。
模型1 总弦：0
长弦：0
频率：—
模型2 总弦：0
长弦：0
频率：—
模型3 总弦：0
长弦：0
频率：—
一点历史：为什么“随机”需要定义？
1889 · 贝特朗的提问。法国数学家约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand，1822–1900）在《Calcul des probabilité
》（《概率计算》）中讨论随机弦问题：不同的“等可能”解释会给出不同答案。这使人们重新审视无差别原则——仅凭没有理由偏好某个结果，能否直接认定它们等可能？[1]
1973 · 从对称性继续追问。E. T. Jaynes 在《The Well-Posed Problem》中用旋转、平移与尺度不变性的要求研究这一问题，得到 。他的论证依赖对问题及不变性要求的解释，不能据此否定本页另外两种明确抽样规则下的计算。[2]
带回实验中的启示。三种数值对应三种概率模型。问“答案是多少”之前，先问“弦是怎样产生的”；这也是几何概率建模中最值得记住的一步。
[1] J. Bertrand，1889，Calcul des probabilité，Paris: Gauthier-Villars，第一章 §5，印刷页 4–5；ETH Library 数字馆藏。
[2] E. T. Jaynes，1973，The Well-Posed Problem，§§1–5；作者所在大学保存的全文。