几何概率 · 蒙特卡洛方法
蒲丰投针
把长为 L 的针随机投掷到画有间距为 d 的平行线平面上，用相交频率估算圆周率 π——这是史上第一个蒙特卡洛实验。
§
游戏规则
- 目标通过大量随机投针，估算圆周率 π 的近似值。
- 操作点击「1 次 / 10 次 / 100 次 / 1000 次」批量投针，或直接点击画布追加一根。
- 判定若针与任意一条平行线相交，记为相交；否则记为不相交。
- 原理当投针数足够大，π ≈ 2L·N / (d·K)，其中 K 为相交次数。
总投针数
0
相交针数
0
π 近似值
—
相对误差
— %
⚙️ 针长 L = 75px 平行线间距 d = 100px
🎲 每次点击画布也可投掷 1 针
📏
参数与公式
- 针长 L75px（小于线间距 d）
- 线间距 d100px
- 估算式π ≈ 2L·N / (d·K)
- 理论相交概率P = 2L / (π·d)
🖱️
操作指南
- 点击批量按钮连续投针，或点击画布单根投针。
- 观察「π 近似值」随投针数增多而趋近 3.14159。
- 相对误差会随样本量增大而逐渐缩小。
π ≈ 2L·N / (d·K)，其中 P(相交) = 2L / (π·d)
单根针中心落在线间距内某点，针与水平线夹角 θ 均匀分布于 [0, π)。针与某条线相交当且仅当中心到最近平行线的距离小于 (L/2)·sinθ。对 θ 积分可得相交概率 P = 2L / (π·d)。
由大数定律，投 N 根针中相交 K 根的频率 K/N 趋近 P，于是 π ≈ 2L·N / (d·K)。投得越多，估算越准——这正是蒙特卡洛方法最经典的出处。
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