几何概率 · 尺度与概率
网格投币 · 1角与1元的胜负
向边长 35 毫米的方格桌面随机抛掷硬币，只有完全落在格内才得分。1角与1元并排同场对照——直径每增大一分，成功率便以平方的速度塌缩。
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游戏规则
- 目标每局 10 次投掷，比较 1角与 1元硬币「完全落入方格」的得分与成功率。
- 操作点「投掷一次」逐次抛出，或「投掷 10 次」连续演示；两枚硬币在同一次操作中各自独立落桌。
- 判定硬币圆周不与任何格线相交，即完全落在某一个方格内，记 1 分；压线不得分。
- 提示方格边长 35 mm，1角 Ø19 mm、1元 Ø25 mm——留意两者成功率相差约 2.6 倍。
1角
1角硬币Ø19 mm
得分: 0
理论成功率
20.9%
实际成功率
0.0%
1元
1元硬币Ø25 mm
得分: 0
理论成功率
8.2%
实际成功率
0.0%
投掷控制
每局上限 10 次投掷。两枚硬币在同一次操作中各自独立抛出，构成同条件下的平行对照实验。
理论对照
1角
(35 − 19)² ⁄ 35²
20.90%
1元
(35 − 25)² ⁄ 35²
8.16%
方格边长 35 mm，硬币按真实比例缩放绘制。硬币圆心只要落在边长为 (a − d) 的内缩正方形中，就必然完全落入该格。
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参数说明
- 方格边长 a35 mm，10 × 10 网格，桌面共 350 mm
- 硬币直径 d1角 19 mm / 1元 25 mm，按真实比例绘制
- 每局上限10 次投掷，达上限后需重置开新局
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操作指南
- 点「▶ 投掷一次」同时抛出 1角与 1元，观察旋转落定动画。
- 点「⚡ 投掷 10 次」连续完成整局，逐次呈现落点与边框判定。
- 对照两侧「实际成功率」与理论值，点「↺ 重置实验」开始新一局。
P = (a − d)² / a² （a = 35 mm 为方格边长，d 为硬币直径）
这是一道典型的几何概率问题。硬币落在桌面上的位置由圆心坐标决定，而圆心在单个方格内是均匀分布的。若要硬币完全落入某一方格而不压线，圆心与四条格线的距离都必须不小于半径 d/2——这等价于圆心必须落在一个由原方格向内缩进 d/2 后形成的、边长为 (a − d) 的小正方形里。
于是成功概率就是这两块面积之比：P = (a − d)² / a²。代入数据可得，1角硬币 P = (35 − 19)² / 35² = 256 / 1225 ≈ 20.90%，1元硬币 P = (35 − 25)² / 35² = 100 / 1225 ≈ 8.16%。直径只增大了 6 毫米，成功率却跌到原来的三分之一左右——因为概率对尺寸的依赖是平方级的。不难看出，当 d 趋近于 a 时 P 趋于 0；而当 d ≥ a 时硬币再也不可能不压线。
右侧显示的「实际成功率」则是频率而非概率。每局只有 10 次投掷，属于小样本，波动会相当明显；反复重置多玩几局并累积观察，你会看到频率逐渐向上述理论值靠拢——这正是大数定律在起作用。
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